一 移动平均

   移动平均能消除数据中的季节变动和不规则变动。若序列中存在周期变动，则通常以周期为移动平均项数。移动平均法可以通过数据显示出数据长期趋势的变动规律。

  可用filter()函数做移动平均。用法：filter(data，filter，sides)

1、简单移动平均

  简单移动平均就是将n个观测值的平均数作为第（n 1）/2个的拟合值。当n为偶数时，需进行二次移动平均。简单移动平均假设序列长期趋势的斜率不变。

   以我国1992到2014年的季度GDP数据为例。

data<-read.csv("gdpq.csv")

tdata<-ts(data,start=1992,freq=4)

m1<-filter(tdata,filter=c(rep(1/4,4)))

plot(tdata,xlab="时间",ylab="gdp")

lines(m1,col="red",cex=1.5)

   代码运行结果如上图，红色表示拟合值，黑色表示真实值。

2、二次移动平均

   二次移动平均即在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均。一般两次移动平均的项数是一致的。二次移动平均假设序列长期趋势的斜率是随时间的变化而变化的。

   二次移动平均长期趋势的拟合公式为：at=2M1t−M2t，其中M1t 表示第一次移动平均的拟合值，M2t表示二次移动平均的拟合值。

   同样以上述数据为例，进行二次移动平均。代码如下：

plot(tdata,type="l",xlab="时间",ylab="季度GDP")

m2<-filter(m1,filter=c(rep(1/4,4)),sides=1)

lines(2*m1-m2,col="red",cex=2)

   代码运行结果如上图所示，红色为二次移动的拟合值。

二 指数平滑

   指数平滑的思想与移动平均是一样的，只是随着时间间隔的增加，加权的权重会呈指数衰减。它认为时间间隔越远的数据对当期数据的影响越小。R调用的函数为

HoltWinters(data, alpha=, beta=, gamma=,seasonal=c(“additive”,”multiple”)…)

1、简单指数平滑

   简单指数平滑假设序列中不存在季节变动和系统的趋势变化。模型公式为：

Xt=axt (1−a)Xt−1，0

a为平滑系数，Xt 为拟合值，xt 为真实值。一般指定X0=x1 ，并且a越大，平滑程度越弱。R语言中有函数可以通过最小化一步预测误差平方和的方法估计出a。以2010年到2014年消费者新心指数为例，并预测2015年前6个月的值。代码如下：

> data<-read.csv("consumer_cf.csv")

> newdata<-ts(data[,2],start=c(2010,1),freq=12)

> plot(newdata,type="o",cex.axis=1.5,cex.lab=1.5,

      xlab="时间",ylab="消费者信心指数")

> a<-HoltWinters(newdata,beta=F,gamma=F)

> b<-HoltWinters(newdata,alpha=0.5,beta=F,gamma=F) #估计参数a

> b

Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component.

Call:

HoltWinters(x = newdata, alpha = 0.5, beta = F, gamma = F)

Smoothing parameters:

 alpha: 0.5

 beta : FALSE

 gamma: FALSE

Coefficients:

      [,1]

a 105.2898

> pdata<-predict(a,6,prediction.interval = T)

> plot(a,pdata,type="o",xlab="时间",ylab="消费者信心指数")

   代码运行结果如上所示。用HoltWinters()函数估计出来的a=0.78，且向后预测值为图中红色部分，黑色为真实值。这种预测方法预测出的值往往不够精确，因为它没有考虑序列中存在的其他变动。

2、Holt_Winters指数平滑

   Holt_Winters指数平滑考虑了序列中存在的季节变动，这种方法对存在季节变动的经济数据有较好的拟合效果，可以用来进行向后预测。

   加法季节模型：

Xt=a∗(xt−st) (1−a)(at−1 bt−1

bt=β∗(Xt−Xt−1) (1−β)bt−1

st=γ∗(xt−Xt) (1−γ)st−p

其中p为季节变动的周期长度。其他含义同上。以上述的GDP数据为例，用HoltWinters指数平滑法分解GDP的水平，斜率及季节变动水平，并预测未来5年的值。代码如下：

> data<-read.csv("gdpq.csv")

> tdata<-ts(data,start=1992,freq=4)

> gdp.hw<-HoltWinters(tdata,seasonal="multi")

> plot(gdp.hw$fitted,type="o",main="分解图")

> plot(gdp.hw,type="o")

> pdata<-predict(gdp.hw,n.ahead=4*5)

> pdata

         Qtr1     Qtr2     Qtr3     Qtr4

2015 149826.6 168126.7 176640.3 192627.9

2016 161252.4 180708.2 189616.2 206523.1

2017 172678.2 193289.7 202592.1 220418.2

2018 184104.1 205871.2 215568.0 234313.4

2019 195529.9 218452.8 228543.8 248208.5

> ts.plot(tdata,pdata,type="o",lty=1:2,col=c("red","black"))

   代码中采用了加法模型。序列的分解图如上图所示。第二个图为模型对数据的拟合图，第三个图的虚线部分为后5年的预测。